集合是一些东西的集体, 而里面的东西叫做元素. 如果一个元素 a 在集合 A 中, 就称 a 属于 A , 记作 a∈A . 我们用 {a1,⋯,an} 表示 a1,⋯,an 所构成的集合, 用 {x∣p(x)} 表示满足条件 p(x) 的 x 所构成的集合.
如果 A 里面只有有限个元素, 就称 A 为有限集, 它的元素个数叫做 A 的势, 记为 ∣A∣ . 如果 A 是无限集, 也可称 ∣A∣=+∞ , 其中 +∞表示正无穷.
注. 集合是被其中的元素唯一确定的, 所以既是两个集合有不同的表示, 只要其中的元素相同, 我们就称它们相等.
例1. 所有的自然数构成一个集合, 记作N. 类似地, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集, C 表示复数集. 而 A∗ 表示 A 去掉 0 得到的集合, A+ 表示 A 中大于 0 的数构成的集合, 其他类似.
例2. 我们假设 Ru:={A∣A∈/A} , 那么 Ru∈Ru 当且仅当 Ru∈/Ru . 这一矛盾构成了大名鼎鼎的Russel悖论, 它后来促进了公理化集合论的诞生. 不过我们未来将忽视这个悖论并自由地运用朴素集合论. 至于Russel悖论的解决, 将在公理化集合论中给出.
注. 我们用 := 来显式表示“定义为”.
例3. 存在一个集合, 它不包含任何元素. 我们把这个元素叫做空集, 记作 ∅.
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如果集合 A 的元素都属于集合 B , 则称 A 是 B 的子集, 或 A 包含于 B , 记作 A⊆B . 如果同时还有 A=B , 则称 A 是 B 的真子集, 记为 A⊂B.
注. 有的文献中并不区分这两个记号的区别并混用, 有的则使用 ⫅ 和 ⫋ 等记号. 本wiki秉承一贯的精神运用以上两个符号.
例4. N⊂Z⊂Q⊂R⊂C .
例5. 空集是任何一个集合的子集.
命题1. 设 A , B 是两个集合, 若 A⊆B 且 B⊆A , 则 A=B .
证明. 由两个条件可知 A 和 B 拥有的元素相同.
我们把 A 所有子集构成的集合叫做 A 的幂集, 记为 2A 或 P(A) .
如果集合 U 包含了所有我们想要讨论的集合, 则称 U 是一个全集. 注意全集是可以根据需要任意选定的.
以下假设 U 是全集, A,B 是 U 的子集.
A 的补集 AC:={x∈U∣x∈/A}.
A 与 B 的交集 A∩B:={x∣x∈A且x∈B}.
A 与 B 的并集 A∪B:={x∣x∈A或x∈B}.
如果 A∩B=∅ , 我们可以用无交并 A∐B 来表示两个不交集合的并集.
A 与 B 的差集 A∖B:={x∣x∈A且x∈/B}=A∩(BC).
A 与 B 的对称差 AΔB:=(A∖B)∪(B∖A).
命题2. 以下是集合运算的一些运算律.以下字母均表示集合.
(1). (AC)C=A;
(2). A∪B=B∪A,A∩B=B∩A ;
(3). A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ;
(4). A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ;
(5). (A∪B)C=AC∩BC,(A∩B)C=AC∪BC.
证明. (1)(2)(3)显然.
(4)(5)用逻辑推导即可.
假设 Λ是一个集合(有限无限均可), {Aα}α∈Λ 是一个集合族, 即对任意 α∈Λ , 都有一个Aα与之对应. 由此, 我们可以更广泛地定义交集与并集:
α∈Λ⋂Aα:={x∣对所有的α∈Λ,都有x∈Aα}.
α∈Λ⋃Aα:={x∣存在至少一个α0∈Λ,使得x∈Aα0}.
命题3. (α∈Λ⋂Aα)C=α∈Λ⋃AαC,(α∈Λ⋃Aα)C=α∈Λ⋂AαC.
有序对是一个有序的一对 (a,b) . 我们可以用 {{a},{a,b}} 来严格定义有序对, 不过其实暂时不用在乎实现细节.
设 A,B 是两个集合, 它们的Descartes积(又叫直积)
A×B:={(a,b)∣a∈A,b∈B}.
我们可以更一般地定义 n 元有序对 (a1,⋯,an) 和 n 个集合的直积 A1×⋯×An . 并且如果认为 ((a1,a2),a3)=(a1,(a2,a3))=(a1,a2,a3) (毕竟元素有序, 不用在乎有几个括号), 就有:
命题4. (A×B)×C=A×(B×C)=A×B×C.
为了简洁, 我们定义 A1:=A , An+1:=A×An, 其中 n 为正整数.
例6. 既然直线可以看成 R , 那么平面可以看成 R2 , 三维空间可以看成 R3 . 通过平面直角坐标系和空间直角坐标系, 这一论断也可以被验证.
一般情况见一般集合的直积.