设 A,B 是两个集合, f⊆A×B 叫做一个从 A 到 B 的映射, 记为 f:A→B , 如果它满足以下条件:
(1). 对任意 (x1,y1),(x2,y2)∈f , 若 x1=x2 , 则 y1=y2;
(2). 对任意 x0∈A , 都存在一个 (x,y)∈f , 使得 x=x0.
对 x∈A , 我们通常把使 (x,y)∈f 的 y∈B 记作 f(x)=y , 或 f:x↦y . y 称为 x 在 f 下的像, x 称为 y 在 f 下的一个原像.
注. 条件(1)表明对 x∈A, 至多有一个 y∈B 与之对应; 条件(2)则表明对 x∈A, 至少有一个 y∈B 与之对应;
注. 一个元素只能有一个像, 但可以有多个原像. 一个典型的例子就是 f(x)=x2 .
例1. 设 A 是一个集合, 那么映射 f:A→A,x↦x 是一个特殊的映到自身的映射. 这个映射叫做恒等映射, 记作 idA 或 1A. 不引起矛盾时, A 可省略.
设 f:A→B , C⊆A , D⊆B .则 C 的像 f(A):={f(x)∣x∈A} , D的原像 f−1(D):={x∈A∣f(x)∈D} . 很明显集合的原像和元素的原像(作为单元素集)是相容的.
用集合表示像和原像是有很明显的好处的, 比如不用说“其中一个原像”这样的话.
设 A,B,C 是三个集合, f:A→B,g:B→C 是两个映射, 则它们的复合 g∘f 是一个从 A 到 C 的映射, 且对 x∈A, (g∘f)(x)=g(f(x)).
注. 有的文献可能复合记号的方向与我们这里相反, 请读者注意.
命题1. 若 f:A→B,g:B→C,h:C→D 是三个映射, 则 (h∘g)∘f=h∘(g∘f).
证明. 从定义上看是显然的.
设 A1,⋯,An 是 n 个集合, B 也是集合, 那么一个 n 元映射是一个映射 f:A1×⋯×An→B. 我们通常会把 (a1,⋯,an)∈A1×⋯×An 的像直接记作 f(a1,⋯,an) .
对映射 f:A→B , 如果每一个 y∈B 都至多有一个原像, 就称 f 是一个单射; 如果每一个 y∈B 都至少有一个原像, 就称 f 是一个满射; 如果每一个 y∈B 都恰好有一个原像, 就称 f 是一个双射.
例2. f1:Z→Z,x↦2x 是一个单射; f2:R→R,x↦x3−x 是一个满射; f3:R→R,x↦x3 是一个双射. 所以从定义上说, 双射就是既单又满的映射.
设 f:A→B 是一个双射, 定义 f 的逆是一个映射 f−1:B→A , 对 y∈B , 若 x∈A 使得 f(x)=y , 则定义 f−1(y)=x . 注意到 f 是一个双射, 所以这个定义是良定义的.
例3. 上述 f3 的逆映射为 f3−1:R→R,x↦3x .
我们已经了解了直积. 一般地, 假设 {Aα}α∈Λ 是一个集族, 直积
α∈Λ∏Aα:={f:Λ→α∈Λ⋃Aα∣f(α)∈Aα对一切α∈Λ都成立}.
我们相信这点, 如果把曾经的有序对看成从位置到元素的映射.