选择公理是一个很重要的公理. 以下是它的几种表述.
假设 是一个集合, 它的一个子集族 称为 的一个划分, 如果 两两不交, 且 .
选择公理表述1: 若 是 的一个划分, 则存在一个 , 使得对每个 , 都恰有一个元素.
这个表述的直观理解就是, 我们总可以从一系列集合中每一个集合取一个代表元, 无论集合的个数是有限还是无限.
假设 是一个集合族, 它上面的一个选择函数是指一个函数 , 满足对任意的 , 都有 . 换句话说, 选择函数在每个集合里面取了一个代表元.
选择公理表述2: 任一集族上都有选择函数.
选择公理表述3: 对任一集族 , 直积 非空.
不难证明以上的表述等价.
与选择公理相关的还有两个命题: 良序定理和Zorn引理.
良序定理: 任何一个集合上都可以给出一个良序关系.
Zorn引理: 如果一个偏序集的每一全序子集都有上界, 则该偏序集有最大元.
以上的名词解释参见关系.
已有的证明表明选择公理、良序定理和Zorn引理是等价的.
选择公理是极富争议的一个命题, 承认选择公理会导致一些奇怪的结论, 其中最有名的当属Banach-Tarski分球定理. 但否认选择公理也会导致许多令人困惑的结果, 所以大多数数学家还是承认选择公理, 并把其作为ZFC公理系统的一部分(这里的C就是选择公理英文 Axiom Of Choice 的C). 本wiki将默认承认选择公理, 并将在不承认的地方特别指出.
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